26. října 2009

Důkaz: Narozeninový paradox aplikovaný na poslaneckou sněmovnu ČR


Matematika je často považována za královnu všech věd, bohužel kvůli své nepřístupnosti s přispěním špatným přístupem kantorů, se stává většině školákům neoblíbenou. Osobně mám štěstí že v počátcích mi matematika nedělala větší problémy a později mě odrazovala jen přístupem "musim se naučit - chápat - počítat". Zpětně když se ohlédnu tak existuje plno zajímavých matematických aplikací, které jsou bohužel často schovány jako poznámky pod čarou u tlustých knih.

Dnes bych Vám rád představil narozeninový paradox. Představte si že jste ve skupině o celkovém počtu 23 lidí. Potom existuje 50% pravděpodobnost že existují dva lidé, kteří mají narozeniny ve stejný den.

Představte si že jedete v metru a chcete si hodit korunou, Jaká je šance že padne orel ? Ze dvou možností padne pouze jedna. Existuje tedy pravděpodobnost 1/2 (jedna možnost z celkových dvou možných) neboli 50%. Takže šance že padné právě orel je vysoká. Teď se kolem rozhlédněte a právě kolem vás (pokud vás je alespoň 23) existují dva lidé s 50% šancí že mají narozeniny ve stejný den. Neuvěřitelné že..

A jak jsme k tomu dospěli?
Rok má 365 dní (neberme v úvahu přestupní ). Začneme od jednoho člověka - pokud se narodil ;-) - má narozeniny v jednom z 365 dnů z celkových 365 dnů. To je šance rovna jistotě( 365/365 = 1).

Pokud máte kamaráda, tak počet možných dnů v roce abys se narodil v jiný den je už jen 364, protože ten jeden "vlastníte vy". Najednou jde kolem 3.kamarád - takže pravděpodobnost že nebude mít narozeniny jako vy dva je 363/365... Ty pravděpodobnosti se mezi sebou vynásobíme (myslim že podle zákona o nezávislosti jevů)..


V prvním sloupci je počet lidií, ve druhém je pravděpodobnost jakou má nově přidaná osoba do množiny, že se narodila v jiný den než jsou narozeni ostatní, třetí sloupec je vynásobená pravděpodobnot že jsou všechny osoby nenarozeny ve stejný den a poslední je pravděpodobnost že jsou narozeny ve stejný den

Dalším možným vysvětlením (a pro mě novým) je vytvořit si počet dvojic. Tři lidi vytvoří celkem 4 dvojice (každý s každym mimo sám sebe, př. AB, BC, AC).Celkový počet zísíkame dle vzorce (3* 2 )/2

Pokud těch osob bude 23, počet dvojic je 253 ( (23 * 22) / 2
A šance že budou mít narozeiny v jeden den je cca 253/365, tedy něco kolem 0,69 (zde se provádí uprava, protože existují šance že jsou někteří narozeni v samý den, kdy šance je zase našich dobrých 50%)


Pozor, tyto pravděpodobnosti jsou jen pokud hledáte dva libovolné lidi. Pokud byste chtěli najít někoho k sobě, tak ty šanci budou 23/365 (cca 6,3%)

A nyní přichází na řadu můj pokus.Hospodářské noviny vydaly přílohu KontaX, v nichž sepisali majetkové poměry našich zákonodárců. U těchto informací byly uvedeny i data narození. Rozhodl jsem se začít od začátku sešitu, a zanalyzovat ona data. Nakonec mi stačilo 26 poslanců za sebou (s tim že jsem projel jen poslance ODS, kteří se všech stran první a to jen písmena A-J)

A kdo jsou ti vítězové?
Páni Ing. František Dědič a Ing. Miroslav Jeník se narodily ve stejný den a to 7.3.
- gratulujeme a pánů zasílám pěknou písničku... :-)

Pokud chcete zkontrolovat, zde je již zmíněný online dokument http://www.ihned.cz/download/kontaX/1kontaX.pdf

Dle mé tabulky tato šance byla na 60% a pokud bych postupoval dále tak bych téměř u 60.tého poslance mířil k jistotě "výhry" (cca 99% a nějaké drobné ;-)

A další zajímavost?
U skupiny 200 (což opět jsou naši poslanci) je šance že jsou narozeni nejen ve stejný den ale i rok opět 50%. Tady bych se přikláněl k umělému zvýšení procent, protože poslanci jsou méně homogenní skupina než třeba v metru (už kvůli tomu že se tam vyskytují lidé kolem nejvíce kolem cca 45 - 55 ). Pokud má nějaký blogger chuť a čas může sepsat všechna data poslanců a podat výsledek zda tomu tak opravdu je (vsadil bych se že ty šance jsou opravdu vysoké)...


Zajímá tě více?